A. Pengertian Logika Matematika
Logika
Matematika atau Logika Simbol ialah
logika yang menggunakan bahasa
Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.
Keuntungan atau kekuatan bahasa
simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai
dimana-mana.
B.
Pernyataan dan Kalimat
Terbuka
1.
Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau
salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kebenaran atau kesalahan
sebuah pernyataan dinamakan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Suatu
pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, dan
seterusnya. Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat
merupakan pernyataan. Contoh :
a.
Jakarta adalah ibu kota Negara Republik Indonesia.
b.
5 adalah bilangan genap.
c.
Kemana anda pergi?
Kalimat (a) merupakan pernyataan yang bernilai benar, kalimat (b)
merupakan pernyataan yang bernilai salah dan kalimat (c) bukan merupakan
pernyataan, karena tidak bernilai benar atau salah. Kalimat-kalimat yang tidak
termasuk pernyataan, adalah:
a.
Kalimat perintah
b.
Kalimat pertanyaan
c.
Kalimat keheranan
d.
Kalimat harapan
e.
Kalimat ……walaupun…..
2.
Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat
peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
Variabel adalah simbol untuk menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik
dalam semesta pembicaraan. Untuk memahami pengertian kalimat terbuka,
perhatikan contoh berikut.
a.
2 x + 3 = 11
b.
y – 3 < 9
c.
Kota itu bersih, indah dan teratur.
Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat terbuka karena belum
dapat ditentukan benar atau salahnya. Pada kalimat (a), jika kita ganti variabel x dengan 3 maka kalimat (a) tidak lagi berupa kalimat terbuka,
sekarang (a) adalah suatu pernyataan
yang bernilai salah tetapi jika kita ganti variabel x dengan 4 maka (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai
benar. Jika kita ganti variabel “itu” pada kalimat (c) dengan Jakarta, maka (c)
belum menjadi pernyataan karena tetap harus diselidiki nilai kebenarannya.
C.
Operasi Logika
1.
Negasi
Negasi (ingkaran) adalah suatu pernyataan baru yang dapat dibentuk
dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan
bernilai salah jika pernyataan semula benar. Jika pada suatu pernyataan p,
diberikan pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan oleh ~p, maka
dapat dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar…” di depan pernyataan p atau jika
mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di dalam pernyataan p.
Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan memenuhi sifat berikut
ini: Jika p benar, maka ~p salah; jika p salah maka ~p benar. Jadi, nilai
kebenaran negasi suatu pernyataaan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran
pernyataan semula. Sifat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut
ini.
p
|
~p
|
B
S
|
S
B
|
Contoh:
a.
p : Semua bilangan prima
adalah ganjil.
~p :
Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil.
~p : Ada
bilangan prima yang tidak ganjil.
b.
q : 2 + 2 = 5
~q :
Tidak benar 2 +2 =5
~q : 2
+ 2 ¹ 5
2.
Konjungsi
Konjungsi adalah
pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan”.
Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Ù q”. Nilai kebenaran
konjungsi p Ù q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q benar, maka p Ù
q benar; sebaliknya, jika salah satu p atau q salah serta p salah dan q salah,
maka p Ù q salah. Dengan perkataan lain, konjungsi dua pernyataan akan bernilai
benar hanya bila setiap pernyataan bagiannya bernilai benar. Untuk lebih
jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Ù q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
Contoh :
a.
p : 2 + 3 = 5
(benar)
q
: 5 adalah bilangan prima (benar)
p Ù q
: 2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima (benar)
b.
p : 12 habis dibagi
3 (benar)
q
: 15 habis dibagi 2 (salah)
p Ù q
: 12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi 2 (salah)
3.
Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua
pernyataan dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p
dan q dinotasikan oleh “p Ú q”. Nilai kebenaran disjungsi p Ú q memenuhi sifat
berikut ini: jika p benar dan q benar serta salah satu diantara p dan q benar,
maka p Ú q benar. Jika p dan q dua-duanya salah maka p Ú q salah. Untuk lebih
jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Ú q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
Contoh :
a.
p : 5 + 3 = 8
(benar)
q
: 8 adalah bilangan genap (benar)
p Ú q : 5 +
3 = 8 atau 8 adalah bilangan genap (benar)
b.
p : 5 + 3 ¹ 8
(salah)
q
: 8 bukan bilangan genap (salah)
p Ú q : 5 +
3 ¹ 8 atau 8 bukan bilangan genap (salah)
4.
Implikasi
Implikasi (pernyataan bersyarat/kondisional)
adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dengan
menggunakan kata hubung logika “jika . . . maka . . .”. Disjungsi dari
pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Þ q”, dapat dibaca “jika p maka q”. Nilai
kebenaran implikasi p Þ q memenuhi sifat berikut: jika p benar dan q salah,
maka p Þ q dinyatakan salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p Þ q dinyatakan
benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Þ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
Contoh :
a.
p : 5 + 3 = 8
(benar)
q
: 8 adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika
5 + 3 = 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar)
b.
p : 5 + 3 ¹ 8
(salah)
q
: 8 adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika
5 + 3 ¹ 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar)
5.
Biimplikasi
Jika dua pernyataan p dan q dirangkai dengan
menggunakan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”, maka diperoleh
pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut
biimplikasi. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Û q”. Nilai
kebenaran biimplikasi p Û q memenuhi sifat berikut: p Û q dinyatakan benar jika
p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. p Û q dinyatakan salah jika
mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan
tabel berikut.
p
|
q
|
p Û q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
Contoh:
a.
p : 2 + 6 = 8
(benar)
q
: 2 < 8 (benar)
p Û q : 2 +
6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (benar)
b.
p : 2 + 6 ¹ 8
(salah)
q
: 2 > 8 (salah)
p Û q : 2 +
6 ¹ 8 jika dan hanya jika 2 > 8 (benar)
D.
Konvers, Invers dan
Kontraposisi suatu Implikasi
Dari suatu implikasi p Þ
q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:
1.
q Þ p, yang disebut konvers dari p Þ q.
2.
~p Þ ~q, yang disebut invers dari p Þ q.
3.
~q Þ ~p, yang disebut kontraposisi dari p Þ q.
Tabel kebenaran hubungan
antara implikasi-implikasi tersebut adalah:
Implikasi
|
Konvers
|
Invers
|
Kontraposisi
|
||||
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p Þ q
|
q Þ p
|
~p Þ ~q
|
~q Þ ~p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
B
B
S
B
|
B
B
S
B
|
B
S
B
B
|
Dari
tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p Þ q sama dengan nilai
kebenaran ~q Þ
~p. Begitu pula nilai kebenaran q Þ p sama dengan nilai
kebenaran ~p Þ ~q.
E.
Tautologi dan
Kontradiksi
Suatu proposisi yang
hanya memuat B pada kolom terakhir tabel kebenarannya, yaitu benar untuk setiap
nilai kebenaran dari peubahnya, disebut tautologi.
Sebaliknya proposisi disebut kontradiksi,
jika kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat S untuk setiap nilai
kebenaran dari peubahnya.
Tabel kebenaran
tautologi.
p
|
~p
|
p Ú ~p
|
B
S
|
S
B
|
B
B
|
Tabel kebenaran
kontradiksi.
p
|
~p
|
p Ù ~p
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
F.
Pernyataan Berkuantor
Kuantor adalah pengukur
kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung
ukuran kuantitas atau jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada dan sebagainya. Kata-kata tersebut
merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor
dibagi menjadi dua, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
v Kuantor Universal
Pernyataan yang
menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor
universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor universal.
Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal.
a.
Semua kuda berlari cepat.
b.
Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol.
Kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi pernyataan
dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai
pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat
terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor universal di depan
kalimat terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk
menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut." x, p(x), dibaca:
untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk semua x berlakulah p(x)
v Kuantor Eksistensial
Pernyataan yang
menggunakan kata beberapa atau ada disebut pernyataan berkuantor
eksistensial. Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial.
Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor eksistensial.
a. Ada bis kota yang
bersih.
b. Beberapa dinding rumah
terbuat dari papan kayu.
Seperti halnya pada
kuantor universal, kuantor eksistensial juga dapat digunakan untuk mengubah
kalimat terbuka menjadi pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat
terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai
berikut. $ x, p(x), dibaca: beberapa x berlakulah p(x) atau ada x berlakulah
p(x)
v Ingkaran Kuantor Universal
Perhatikan contoh
berikut.
p : Semua kucing
berwarna putih
ingkaran dari p adalah
~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau
~p : Ada kucing yang
tidak berwarna putih
Berdasarkan contoh
diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah
pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan
berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.
~[" x, p(x)] º $ x,
~p(x)
dibaca: ingkaran dari
“untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”
v Ingkaran Kuantor Eksistensial
Perhatikan contoh
berikut.
p : Ada pria yang menyukai sepak bola
ingkaran dari p adalah ~p : Tidak ada pria yang menyukai sepak
bola, atau
~p : Semua pria tidak
menyukai sepak bola
Berdasarkan contoh
diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah
sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan
berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut.
~[$ x, p(x)] º
" x, ~p(x), dibaca: ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan
“untuk semua x bukan p(x)”
G.
Penarikan Kesimpulan
Modus ponens, modus
tollens dan silogisme adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan
kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang
diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). Kemudian dengan menggunakan
prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut
kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. Penarikan
kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi.
Suatu argumentasi
disusun dengan cara menuliskan premis-premisnya baris demi baris dari atas ke
bawah, kemudian dibuat garis mendatar sebagai batas antara premis-premis dengan
konklusi. Misalkan pernyataan-pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka
argumentasi tersebut dapat disajikan dalam susunan berikut.
a ……. premis 1
b ……. premis 2
\c …….
kesimpulan/konklusi
Pernyataan a sebagai premis 1, pernyataan b sebagai premis 2, dan pernyataan c
sebagai kesimpulan/konklusi. Tanda \ dibaca “jadi” atau “oleh karena itu”.
1.
Modus Ponens
Misalkan
diketahui premis-premis p Þ q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil
konklusi q. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus ponens
atau kaidah pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
p ……. premis 2
q ……. kesimpulan/konklusi
2.
Modus Tollens
Misalkan diketahui
premis-premis p Þ q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p.
Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus tollens atau
kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
~q ……. premis 2
~p ……. kesimpulan/konklusi
3.
Silogisme
Misalkan diketahui
premis-premis p Þ q dan q Þ r. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi p
Þ r. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut kaidah silogisme.
Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
q Þ r …….
premis 2
p Þ r ……. kesimpulan/konklusi
0 Comments